[과학 산책] 100m 상공은 지상과 시간이 얼마나 차이 날까?

1871년, 리옹 대학 실험

1871년 파리의 리옹 대학. 어느 연구진이 건물 옥상과 지상에 빛의 간섭계를 설치했습니다. 목표는 단순했습니다. 높이가 다르면 빛의 파장도 달라질까?

결과는 놀라웠습니니다. 불과 100m도 안 되는 높이 차이로 빛의 파장이 미세하게 변했던 겁니다.

광자에게 무슨 일이 일어난 걸까요?

당시 물리학자들은 이 결과를 제대로 설명하지 못했습니다. 빛의 파장이 왜 높이에 따라 달라지는지, 그 근본 원리를 아무도 몰랐으니까요.

광자도 떨어진다?

광자는 질량이 없잖아요!

맞습니다. 하지만 아인슈타인은 달리 생각했죠.

	E = mc²

이 유명한 공식을 뒤집으면:

	m = E/c²

광자는 정지 질량은 없지만, 에너지를 가지고 있습니다. 그리고 그 에너지는 유효 질량처럼 행동합니다.

즉, 광자도 중력의 영향을 받는다는 뜻입니다!

떨어지는 광자의 에너지 계산

지상 높이 H에서 광자가 지상으로 떨어진다고 상상해봅시다.

사과가 떨어지면 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌죠? 광자도 마찬가지입니다.

에너지 보존 법칙

	E₀ = E_H + mgH

• E₀: 지상에 도착한 광자의 에너지
• E_H: 높이 H에서 출발한 광자의 에너지
• mgH: 위치 에너지

광자가 떨어지면서 위치 에너지를 광자 에너지로 얻는 겁니다!

유효 질량 m = E_H/c² 대입

	E₀ = E_H + (E_H/c²)gH
	E₀ = E_H(1 + gH/c²)

지상에 도착한 광자가 더 에너지가 높습니다!

그럼 파장은?

광자의 에너지는 E = hc/λ 입니다. 에너지가 크면 파장이 짧아지죠.

	hc/λ₀ = (hc/λ_H)(1 + gH/c²)
	λ₀ = λ_H/(1 + gH/c²)
	λ₀ ≈ λ_H(1 - gH/c²)

결론: 지상의 광자는 파장이 더 짧습니다 (청색 편이)!

떨어지면서 에너지를 얻어 더 빠르게 진동하는 거죠.

빛의 파장과 시간과의 관계

진동수(f)는 1초에 몇 번 진동하는가를 의미합니다. 그런데 높이에 따라 광자의 진동수가 다르다면?

1초의 길이 자체가 다르다는 뜻입니다!

파장 변화율 = 진동수 변화율 = 시간 변화율:

	Δλ/λ = Δf/f = Δt/t = gH/c²

100m 건물의 경우

값을 넣어볼까요?

• g = 9.8 m/s² (중력 가속도)
• H = 100 m
• c = 3×10⁸ m/s
• c² = 9×10¹⁶ m²/s²

	Δt/t = (9.8 × 100)/(9×10¹⁶)
     	 = 980/(9×10¹⁶)
     	 ≈ 1.1 × 10⁻¹⁴

이게 무슨 뜻이냐면...

100m 높은 옥상에서는 지상보다 1초가 0.000000000000011초 더 빠르게 흐릅니다!

하루(86,400초)로 환산하면? 약 0.95 나노초 차이입니다.

엄청 작죠? 하지만 측정 가능합니다.

정말 측정이 될까?

1971년: 하펠-키팅 실험

원자시계를 비행기에 태워 세계 일주를 시켰습니다. 돌아와서 지상의 시계와 비교했더니... 예측한 만큼 정확히 시간 차이가 났습니다!

2010년 NIST의 실험

미국 국립표준기술연구소는 단 33cm 높이 차이의 시간 팽창을 측정했습니다.

책상 위와 책상 아래도 시간이 다르게 흐른다는 걸 확인한 겁니다!

매일 사용하는 GPS

GPS 위성은 지상 20,000km 상공에 있습니다.

만약 중력 시간 팽창을 보정하지 않으면?

• 하루에 45마이크로초씩 오차 발생
• 위치 오차로 환산하면 하루 약 13km!

내비게이션이 "목적지에 도착했습니다"라고 할 때, 사실은 아인슈타인의 공식이 당신을 정확한 위치로 안내한 겁니다.

시간은 절대적이지 않다

일반 상대성 이론이 말해주는 진실:

• 중력이 강한 곳(지상)에서는 시간이 느리게 흐릅니다
• 중력이 약한 곳(옥상)에서는 시간이 빠르게 흐릅니다

옥상에서 1초 동안 광자가 진동하는 횟수와, 지상에서 1초 동안 광자가 진동하는 횟수가 다릅니다.

왜냐하면 그들의 "1초"가 서로 다르기 때문입니다.

1871년 실험과 아인슈타인의 통찰

1871년 리옹 대학의 연구진들은 놀라운 현상을 관측했습니다. 하지만 이것이 무엇을 의미하는지 이해하지 못했죠. 아인슈타인이 태어나기도 전이었으니까요. (아인슈타인은 1879년생)

그로부터 44년 후인 1915년, 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 발표하며 중력과 시간의 관계를 밝혀냈습니다. 중력이 강한 곳에서는 시간이 느리게 흐른다는 것이죠.