[제어 이론-4] 근의 궤적(Root Locus) 개념부터 PI 제어기 설계까지

제어 시스템을 설계할 때 가장 중요한 질문은 "시스템이 안정한가?"와 "원하는 성능을 내기 위해 이득(Gain, K)을 얼마나 조절해야 하는가?"입니다. 이를 직관적으로 보여주는 강력한 도구인 **근의 궤적(Root Locus)**에 대해 알아보겠습니다.

근의 궤적이란?

근의 궤적은 개방 루프 전달함수의 이득 $K$를 0에서 무한대($\infty$)까지 변화시킬 때, 폐루프 시스템의 특성방정식 해(Pole, 극점)가 복소평면($s$-plane) 위에서 그리는 경로를 말합니다.

 

왜 그리는가?

시스템의 안정성을 판별하고, 과도 응답 특성( 응답 속도를 조절하고 안정성을 개선)을 예측하기 위함입니다.

 

기본 원리

루프 이득 $K$가 변함에 따라 극점이 왼쪽 반평면(LHP)에 있으면 안정, 오른쪽(RHP)으로 넘어가면 불안정해집니다.

 

 

$$\text{폐루프 전달함수} = \frac{\frac{K \cdot N(s)}{D(s)}}{1 + \frac{K \cdot N(s)}{D(s)}} = \frac{K \cdot N(s)}{D(s) + K \cdot N(s)}$$

이득($K$)이 매우 작을 때

분모에서 $K \cdot N(s)$항이 무시됩니다.

$$\text{as } K \to 0, \quad \text{폐루프의 pole} \to \text{루프의 pole}$$

이득($K$)이 매우 클 때

분모에서 $D(s)$항이 무시됩니다.

$$\text{as } K \to \infty, \quad \text{폐루프의 pole} \to \text{루프의 zero}$$

근의 궤적을 그리는 핵심 규칙

복잡한 수식 계산 없이도 다음 몇 가지 규칙만 알면 대략적인 궤적을 그릴 수 있습니다.

 

출발과 도착

• 궤적은 $K=0$일 때 **개방 루프 극점(Pole, X표시)**에서 출발합니다.
• $K=\infty$일 때 **개방 루프 영점(Zero, O표시)**으로 도착합니다.
• 영점의 개수가 극점보다 적다면, 짝을 찾지 못하고 점근선 방향으로 뻗어나갑니다.

실수축 위의 궤적

• 실수축 상의 어떤 구간이 궤적에 포함되는지 확인하려면, 그 지점의 오른쪽에 있는 극점과 영점의 총개수를 셉니다.
• 그 개수가 홀수이면 그 구간은 근의 궤적에 속합니다.

대칭성

• 근의 궤적은 항상 실수축($\sigma$-axis)을 기준으로 위아래 대칭입니다.
• 실수축 위의 두 극점이 만나면 서로 충돌하여 허수축 방향으로 갈라져 나갑니다.

점근선 (Asymptote)

• 무한대로 뻗어 나가는 가지들은 특정한 각도와 중심을 가진 점근선을 따라갑니다.
  • 각도($\theta_a$): $\frac{360^{\circ}}{Np - Nz}$ (극점 개수 - 영점 개수).
  • 중심($\sigma_a$): $\frac{\sum poles - \sum zeros}{Np - Nz}$ (극점의 합 - 영점의 합 나누기 개수 차이).

다양한 극점 배치에 따른 궤적 예시

이론만으로는 와닿지 않을 수 있습니다. 극점(X)과 영점(O)의 위치에 따라 궤적이 어떻게 변하는지 패턴을 익히는 것이 중요합니다.

 

극점 2개 (X---X)

두 극점이 서로 마주 보고 다가와 충돌한 후, 위아래로 갈라집니다.

 

극점 1개, 영점 1개 (X---O)

극점에서 나와 영점으로 바로 들어갑니다.

 

극점 3개

두 개는 충돌하여 벌어지고, 나머지 하나는 무한대로 이동하며 점근선을 형성합니다.

 

 MATLAB 시뮬레이션 사례

MATLAB 시뮬레이션 예제를 보면, 3개의 극점과 1개의 영점을 가진 시스템의 궤적을 확인할 수 있습니다.

$$
G(s) = \frac{s+100}{s^3}
$$

 

점근선 중심 계산

$$
\sigma_a = \frac{(0+0+0) - (-100)}{3-1} = \frac{100}{2} = 50
$$
이 계산을 통해 궤적이 실수축 +50 지점을 중심으로 뻗어 나감을 알 수 있습니다.

이처럼 수식으로 계산된 점근선의 중심과 각도는 실제 궤적의 뼈대가 됩니다.

예제) 루프의 pole이 다음과 같을 때 Root locus를 그리시오

PI 제어기의 루트 로커스 해석 

근의 궤적은 제어기(Controller)를 설계할 때 진가를 발휘합니다. 가장 많이 쓰이는 PI 제어기를 예로 들어보겠습니다.

 

PI 제어기의 역할

PI 제어기는 시스템에 극점 1개(원점)와 영점 1개를 추가하는 것과 같습니다.

 

원점 극점 ($1/s$)

시스템의 차수를 높여 정상상태 오차(Steady-state error)를 없애줍니다.

 

영점 ($s + 1/T_i$)

시스템의 응답 속도를 조절하고 안정성에 긍정적인 영향을 줍니다.

 

PSIM 등에서의 표현
일반적인 제어 식은 $K_p + K_i/s$ 형태이지만, 시뮬레이션 툴이나 해석 시에는 다음과 같이 묶어서 표현하기도 합니다.
$$
C(s) = \frac{K_p(s + 1/\tau)}{s}
$$
여기서 영점의 위치는 $-1/\tau$가 되며, 이는 $K_p/K_i$ 비율로 결정됩니다.

즉, PI 제어기를 튜닝한다는 것은 영점의 위치를 조절하여 근의 궤적을 안정한 영역(왼쪽)으로 당겨오는 과정이라고 할 수 있습니다.