[제어 이론-5] P·I·PI·PID 제어기의 구조와 PI 근궤적(Root Locus) 해석

제어의 핵심 목적은 피드백을 통해 시스템의 극점(Pole)을 안정적인 위치로 재배치하고,
그 결과로 상승시간·오버슈트·응답속도와 같은 과도특성을 개선하며,
적분기(Integral)를 추가하여 정상상태 오차를 제거하는 것에 있습니다.

제어기 형태에 따라 시스템에 추가되는 극점과 영점의 구성은 다음과 같이 달라집니다.

P 제어기(비례 제어)

• 비례 계수 (K)는 폐루프 극점을 근궤적 경로를 따라 이동시키는 역할을 합니다.
• 정상상태 오차를 어느 정도 줄이지만 0으로 만들지는 못합니다.
• 폐루프의 감쇠비(댐핑)와 안정성 여유를 조정하는 기능을 담당합니다.

I 제어기(적분 제어)

• 원점에 극점 1개가 추가됩니다.
• 시스템의 형(Type)이 1단계 증가하여 정상상태 오차가 0이 됩니다.
• 적분기는 저역통과 필터의 성질을 가지므로 과도응답이 느려질 수 있습니다.

PI 제어기(비례 + 적분)

• 원점 극점 1개 + 좌반면(LHP) 영점 1개가 추가됩니다.
• 원점 극점이 정상상태 오차를 제거하고,
• 영점은 근궤적을 좌반면 쪽으로 당겨 안정성을 확보합니다.
• 영점 위치를 조절하여 응답속도(과도특성)를 원하는 수준으로 맞출 수 있어,
  실제 전력전자·모터제어 회로에서 가장 널리 사용됩니다.

PID 제어기(비례 + 적분 + 미분)

• 원점 극점 1개 + 영점 2개가 추가됩니다.
• 적분항은 정상상태 오차를 제거하고,
• 미분항은 빠른 응답과 오버슈트 억제에 도움을 줍니다(미분항의 다른 의미는 댐핑 제어에서 별도로 다룸니다).
• 빠르고 정확한 제어가 필요한 고성능 시스템에서 사용됩니다.

PI 제어기의 핵심: 근궤적(Root Locus) 관점에서의 이해

PI 제어기의 본질은 원점 극점 1개 + 좌반면 영점 1개를 시스템에 추가하는 것입니다.

원점 극점(1/s) 

• 시스템의 형을 증가시키며
• 오차가 남아 있는 한 적분해 따라잡는 구조를 만듭니다.
• 결과적으로 정상상태 오차는 0이 됩니다.

좌반면(LHP) 영점( (-1/\tau) )

• 원점 극점만 존재하면 근궤적이 우반면(RHP)으로 튈 위험이 생기지만,
  영점이 이를 좌반면 방향으로 끌어당겨 안정성을 확보합니다.
• 이 영점의 위치(즉 (\tau))는 응답속도 조절의 핵심 조정 파라미터입니다.

두 요소가 결합했을 때의 근궤적 형태

• “원형에 가까운 호(arc)” 모양의 근궤적이 형성되며,
• 시스템은 안정적이면서도 정상상태 오차가 없는 형태로 동작합니다.
• PI 제어기 수식 표현 – 두 형태는 완전히 동일함

PI 제어기 표현: 병렬형(Parallel Form)

$$
C(s) = K_p + \frac{K_i}{s}
$$

• 가장 직관적인 형태
• 비례항과 적분항이 단순히 더해져 있습니다.

PI 제어기 표현: 극점–영점형(Pole–Zero Form, PSIM 등에서 사용)

$$
C(s) = \frac{K_p(s + 1/\tau)}{s}
$$

• 위 식을 통분하면 병렬형과 동일합니다.
• 분자에 (s + 1/\tau)가 나타나므로, 영점이 (-1/\tau)가 되며, 근궤적 해석에 매우 유리함

$$
\tau = \frac{K_p}{K_i}
$$

적분상수 (K_i), 비례상수 (K_p)를 알고 있으면 영점의 위치를 직접 계산할 수 있습니다.