[제어 이론-7] 주파수 영역에서 제어 응답 주파수와 대역폭

제어기를 설계할 때 시간 영역의 상승시간, 오버슈트도 중요하지만, 실제 성능을 평가하려면 주파수 관점이 필수입니다.

그중에서도 제어 응답 주파수(bandwidth)는 제어기가 얼마나 빠르게 반응하는지를 가장 직접적으로 보여주는 핵심 지표입니다.

이번 글에서는 주파수 응답의 기본 개념과 제어 응답 주파수의 의미를 간단히 정리합니다.

주파수 응답의 개념

주파수 응답은 시스템에 다양한 주파수의 정현파(Sinusoidal) 입력을 가했을 때, 출력이 어떻게 변화하는지를 나타냅니다. 시간 영역에서는 파악하기 어려운 시스템의 고유 특성이 주파수 영역에서는 명확하게 드러납니다. 예를 들어, 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템이 있다고 가정하겠습니다.
$$
H(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 5s + 6}
$$

주파수 응답의 계산

주파수 응답을 구하기 위해 라플라스 변수 $s$를 $j\omega$로 치환합니다. 여기서 $\omega$는 입력 정현파의 각주파수를 의미합니다. 정현파 입력 시 실수부 $\alpha$는 0이 되므로 $s = j\omega$가 성립합니다. 이를 전달함수에 대입하면 다음과 같습니다.
$$
H(j\omega) = \frac{2j\omega + 1}{(j\omega)^2 + 5(j\omega) + 6}
$$

주파수 응답의 크기(Magnitude)는 다음과 같이 계산됩니다.
$$
|H(\omega)| = \frac{|2j\omega + 1|}{|(j\omega)^2 + 5(j\omega) + 6|} = \sqrt{\text{실수부}^2 + \text{허수부}^2}
$$
이 크기는 특정 주파수의 입력 신호가 시스템을 통과할 때 진폭이 얼마나 증폭되거나 감쇠되는지를 나타내는 지표입니다.

MATLAB 코드 예시

다음은 보드 선도(Bode Plot)를 그리기 위한 MATLAB 코드입니다. 보드 선도는 주파수에 따른 이득(dB)과 위상(degree)을 동시에 보여주는 가장 보편적인 주파수 응답 표현 방식입니다.

clear all
s = tf('s');
H = (2*s + 1)/(s^2 + 5*s + 6);
bode(H)
grid

제어 응답 주파수

제어 응답 주파수(Control Bandwidth)는 정현파 입력에 대한 시스템의 이득이 $0.707$배($-3\text{dB}$)가 되는 주파수를 의미합니다. 이 값은 제어기가 얼마나 빠르게 반응할 수 있는지를 보여주는 핵심 지표입니다.
$$
\text{BW (Bandwidth)} = -3\text{dB가 되는 주파수}
$$

0.707배의 기준

$0.707$은 $\sqrt{1/2}$에 해당하며, 전력 기준으로 절반이 되는 지점입니다. 이 지점을 기준으로 제어 응답 주파수 이하에서는 시스템이 입력 신호를 잘 추종하지만, 그 이상에서는 이득이 급격히 감쇠하여 입력을 제대로 따라가지 못합니다. 즉, 제어 응답 주파수는 제어기가 유의미하게 동작할 수 있는 주파수의 상한선을 나타냅니다.

상승 시간

상승 시간($t_r$)은 시스템의 출력이 0에서 출발하여 목표값(정상상태)의 10% 지점에서 90% 지점까지 도달하는 데 걸리는 시간을 의미합니다. 이는 시스템이 입력 변화에 얼마나 신속하게 반응하는지를 나타내는 과도 응답의 핵심 지표입니다. 수치가 작을수록 응답 속도가 빠름을 뜻합니다.

상승 시간과 제어 응답 주파수와의 관계

상승 시간은 주파수 영역의 제어 응답 주파수(대역폭, $\text{BW}$)와 밀접한 반비례 관계를 가집니다. 대역폭이 넓을수록 고주파 신호를 잘 통과시키므로, 시간 영역에서는 급격한 변화인 상승 시간이 짧아집니다.

일반적으로 1차 시스템에서 다음과 같은 근사식이 성립합니다.
$$
t_r \approx \frac{0.35}{\text{BW}}
$$
여기서 $\text{BW}$는 $\text{Hz}$ 단위의 제어 응답 주파수입니다. 즉, 제어 시스템의 대역폭을 알면 시간 영역에서의 상승 시간을 예측할 수 있으며, 반대로 요구되는 상승 시간을 통해 필요한 대역폭을 역산할 수 있습니다.