[제어 이론-9] 원점 단일 극점(Single Pole) 시스템의 PI 제어

1-Pole(단일 극점) 시스템에서 PI 제어의 게인을 공식 한 줄로 계산하는 방법을 정리합니다.

1-Pole 시스템 예: 인덕터 전류 제어

전력전자에서 가장 대표적인 1-Pole 시스템은 다음 두 가지입니다.

인덕터 전류 제어

전압원을 이용해 인덕터 전류를 제어

커패시터 전압 제어

전류원을 이용해 커패시터 전압을 제어

이번 장에서는 전압원으로 인덕터 전류를 제어하는 경우를 예로 설명하겠습니다. 전류원을 이용한 커패시터 전압 제어는 완전히 대칭적인 구조입니다.

인덕터 전류 제어를 간단한 1-Pole 모델로 쓰면 다음과 같습니다.

여기에 PI 제어기의 원점 Pole 과 Zero 를 추가합니다.

P 게인이 $ K_p $를 중가시키면 그림과 같이 녹색 선을 따라 Pole 이 이동합니다.

 

 

제어기의 대역폭이 Fcb 일 경우 적분상수 $\tau$ 는 다음과 같습니다.

이 때 두개의 Pole이 빨간 화살표에 위치하게 하는 Kp 의 값은 다음과 같습니다.

이 위치를 선택한 이유는 빠르기와 안정도측면에서 가장 유리하기 때문입니다.

전류원을 이용하여 C 의 전압 제어에도 L 대신 C 를 대입하면 동일하게 적용됩니다.

PSIM 모의시험

L = 1mH 인덕터를 전압원을 이용하여 Fcb = 1kHz인 PI 제어기를 꾸미고 모의시험으로 검증하겠습니다.

위 식대로 $\tau$와 Kp는 다음과 같습니다: $\tau$ = 0.79/Fcb, Kp = 5.1*1e-3*1kHz

 

방형파 응답, 오버슈터가 있음을 알 수 있습니다.

Fcb = F_sin, 크기가 0.707배로 줄어듦니다

 

인덕터 전류 제어에 PI 제어기를 사용 이유

이론적으로 제어 대상($G_{p}(s)$)에 원점 극점(Origin Pole)이 존재하면, 비례(P) 제어만으로도 적분 특성을 가져 유형 1 시스템(Type 1 System)이 되므로 계단 응답에서의 정상상태 오차가 0이 됩니다.

하지만 현실에서는 다음과 같은 이유로 PI 제어기를 사용합니다.

• 실제 인덕터의 물리적 특성: 실제 인덕터는 순수 유도 성분($L$)만 갖지 않으며, 코일의 권선 저항($R$)이 반드시 존재합니다.
• 원점 극점의 이동: 이 저항 성분으로 인해 제어 대상의 극점은 원점($s=0$)에서 좌평면($s = -R/L$)으로 이동하게 됩니다.
• 정상상태 오차의 발생: 극점이 원점에서 벗어나면 시스템은 유형 0(Type 0)이 되며, P 제어만으로는 계단 입력에 대해 필연적으로 정상상태 오차(Steady-state error)가 발생합니다.
• 적분 항의 필요성: 따라서 제어기에 의도적으로 진짜 원점 극점인 적분 항($1/s$)을 추가하여(PI 제어), 물리적 저항에 의한 오차를 완전히 제거하고 정밀한 제어 성능을 확보하는 것입니다.