[제어 이론-17] 비선형 시스템의 스텝 응답으로부터 PI 제어기 설계

이번 글에서는 모델링이 극히 어려운 비선형 시스템에서, 스텝 응답(step response)만으로 PI 제어기를 어떻게 설계하는지 살펴보겠습니다.

전압 제어형 플라이백 컨버터 같은 스위칭 전원은 시비율(duty cycle)에 따라 동작 구간이 바뀌면서 등가 회로 구조 자체가 달라지는, 강한 비선형 계통입니다. 이를 수학적으로 다루기 위해 흔히 상태공간 평균화(state-space averaging) 모델링을 적용하지만, 실제 현장에서는 기생 성분, 부품 편차, 포화·손실 같은 비이상성이 겹쳐 완전한 전달함수(수식)를 얻어 설계에 그대로 쓰기 어렵습니다.

이런 경우에는 복잡한 미분방정식에 매달리기보다, 스텝 응답을 이용해 시스템을 식별하고 제어기를 설계하는 접근이 훨씬 실용적입니다. 특히 실제 제작된 변압기에서 자화 인덕턴스 (Lm) 과 누설 인덕턴스 (Ls) 는 LCR 미터로 비교적 손쉽게 측정할 수 있고, 이 값을 반영해 모의시험을 구성하면 실제 제품과 매우 유사한 동특성을 재현할 수 있습니다.

1. 누설 인덕턴스와 RC 시정수의 관계

절연형 컨버터의 출력 파형을 관찰하면, 2차 시스템임에도 불구하고 마치 RC 회로와 같은 1차 지연 응답이 나타납니다. 그 이유는 변압기의 누설 인덕턴스, Ls에 있습니다. 누설 인덕턴스는 교류 관점에서는 임피던스로 작용하지만, 직류 출력 측면에서 보면 등가 저항 성분으로 나타납니다.

이 등가 저항과 출력단의 커패시터가 결합하여 지배적인 극점(Dominant Pole)을 형성하며, 이로 인해 스텝 입력에 대해 지수함수적으로 상승하는 RC 시정수(tau) 특성이 나타나게 됩니다.

2. 영점-극점 상쇄를 통한 PI 제어기 설계

지난 글에서는 시스템의 시정수와 PI 제어기의 시정수를 같게 맞춰, 극점–영점 상쇄로 PI 제어기를 설계하는 방법을 다뤘습니다. 따라서 이번 장에서도 같은 원리를 그대로 적용합니다.

즉, 스텝 응답으로부터 구한 시정수와 PI 제어기의 적분 시정수를 같게합니다.

3. 제어 대역폭(Bandwidth) 선정의 유의점

제어기 대역폭(응답 주파수) Fcb는 시행착오를 거쳐 정하되, 대략 (1/tau) 근방이 되도록 선정하는 것을 권장합니다.

스텝 응답으로 얻은 tau는 시스템을 RC 1차로 단순화한 추정값이며, 실제 컨버터는 동작점에 따라 파라미터가 변하는 비선형 계통입니다. 대역폭을 과하게 키우면 영점–극점 상쇄가 정확히 맞지 않아 위상 여유가 줄고 불안정해질 수 있습니다. 그래서 모델을 신뢰할 수 있는 범위 안에서 안정성을 확보하도록, Fcb를 1/tau 근방으로 설정하는 것이 실용적입니다.

4. 설계 예:  플라이백 컨버터 제어기 설계

사양

• 스위칭 주파수: Fsw = 20 kHz
• 입력전압: Vin = 100 V
• 출력전압: Vout = 15 V
• 출력전력: 20 W
• 출력 커패시터: C = 1 mF
• 전압 센싱 비: 15 V → 2.5 V (즉, 6:1 비율)

시정수는 3.3 msec 정도이며, 스텝 응답 이득, del_Vo_sen/del_mod = 8.7 로 산출되었습니다. 따라서 제어 응답 주파수, Fcb =1 KHz 로 정합니다. 출력 전압이 15 V에서 안정되고 있으며, 정격 부하의 5 % 스텝 부하 변화 시에도 빠르게 15 V로 복귀함을 확인할 수 있습니다.

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5. 설계 예:  LM431 + 포토 커플러 + PWM IC 가 포함된 플라이벡 컨버터의 PI 제어기 설계

이번에는 비선형성이 더 큰 구성(LM431 + 포토커플러 + PWM IC 포함)에서 PI 제어기를 설계합니다. LM431은 2.5 V 기준전압을 가지고 풀다운만 가능한 연산증폭기로 보면 됩니다. 포토커플러는 전류 전달 이득(CTR)이 100~200 %로 산포가 크므로 이를 고려해야 합니다. 본 설계는 루프 이득이 가장 큰 CTR = 200 % 조건에서 시작합니다. CTR이 100 %로 감소하면 응답은 느려지지만, 일반적으로 안정성은 더 나빠지지 않기 때문입니다.

시행착오 방식으로 출력 전압이 목표값이 되도록 만드는 PI 출력값을 먼저 찾습니다. PWM IC의 피드백 입력은 1~3 V 톱니파와 비교되어 PWM 게이트 신호를 생성합니다. 여기서는 적당한 PI 제어기 게인을 조정해 출력 전압이 목표값을 정확히 추종하게 만든 뒤, 그 상태를 기준으로 원하는 제어 대역(Fcb)이 나오도록 PI 계수를 추가로 최적화합니다.

또한 HOLD & STEP INPUT 모듈을 사용해, 폐루프 제어 상태에서 PI 출력을 고정한 후 30 ms 후 0.02 V 스텝 입력을 인가합니다. 이때의 응답으로부터 이득 gain = del_Vo_sen / del_V_FB과 스텝 응답으로부터 등가 시정수을 구합니다.

측정 결과 시정수는 약 3.3 ms, 그리고 스텝 응답 이득은 gain = 3.8로 산출되었습니다. 따라서 목표 제어 대역 Fcb는 1 kHz로 설정합니다.

 

 

5% 부하 스텝 응답

 

다음은 LM431 + 포토 커플러로 PI 제어기를 대체합니다. R10 = CTR*R11 로 하여 포토커플러 양단의 AC 이득을 1로 합니다. C11은 DC 차단용이며 C11-R11 의 시정수가 시스템 시정수보다 3배 이상으로 해야 특성에 영향을 안주게 됩니다. 5% 부하 스텝에 대한 출력 전압 응답이 이전과 동일하게 유지됨을 알 수 있습니다. R7은 전압 분압저항의 데브낭 등가 저항입니다.

 

 

전압 검출 분압저항 부분을 정리하면 다음과 같습니다.